Methodological
proposal for the solution of geometric applications of ordinary differential
equations
Rómel
Manolo Insuasti Castelo. [1], =
Javier
Roberto Mendoza Castillo. [2]
Recibido:
10-05-2019 / Revisado: 15-06-2019 /Aceptado: 04-07-2019/ Publicado: 25-07-2=
019
Abstract.
=
DOI: https://doi.org/10.33262/concienciadigita=
l.v3i3.1.1404
Solving problems of geometric application of Ordin=
ary
Differential Equations presents certain difficulties when deciding how to t=
reat
them to find the differential equation that is present in a given problem.
These problems are solved at higher levels of study, where the solution of
these is not very clear, for this reason it is tried in this work, to deter=
mine
a general path, as far as possible, that facilitates the resolution of the
problem in progress. For which use is made of a retail analysis, identifying
the parts present that affect the problem or data that may be explicit or
implicit and a subsequent synthesis, which allows to relate the parts of the
problem found in the analysis, fundamentally specifying in the differential
equation that is describing the problem in all its parts. The results obtai=
ned
from this methodology must be verified at the end, to be sure that the
resolution process has been developed successfully.
Keywords: Methodology,
geometric applications, differential equations
Resumen.
La
resolución de problemas de aplicación geométrica de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDO), presenta ciertas dificultades al momento de
decidir cómo tratarlas para encontrar la ecuación diferencial que está pres=
ente
en un determinado problema. Este tipo de problemas son resueltos por lo gen=
eral
en los niveles de estudio superior, donde la solución de estos no resulta m=
uy
clara; por esta razón la presente investigación persigue, determinar una
propuesta metodológica que facilite su resolución. Para este efecto en un
primer momento se hace necesario realizar un análisis pormenorizado,
identificando las partes presentes que inciden en el problema o datos que
pueden ser explícitos o implícitos y una posterior síntesis, que permita
relacionar las partes del problema encontradas en el análisis; llegando así=
a
concretar fundamentalmente en la ecuación diferencial, que está describiend=
o en
todas sus partes el problema. Los resultados que se obtienen permiten
corroborar la eficacia de la metodología propuesta.
P=
alabras
claves: Metodología, aplicaciones geométricas, ecuaciones
diferenciales.
Intro=
ducción.
La
solución de las aplicaciones geométricas de la Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (EDO) en problemas reales o físicos, revisten en ocasiones un
entorno muy complicado, donde principalmente se encuentran ecuaciones
diferenciales de primer grado, primer orden y la solución de estas no es ta=
nto
el problema, sino el encontrar dicha ecuación diferencial, para posteriorme=
nte
dar solución estrictamente matemática. (Asmar, =
2000)
Como
se apuntó anteriormente estas aplicaciones se observan en cursos de nivel
superior, donde el estudiante presenta dificultad en el análisis para encon=
trar
la ecuación diferencial que predice el fenómeno físico en cuestión y su
posterior solución. (López, 2005). De la revisión bibliográfica especializa=
da
se puede inferir que no existe ningún lineamiento para la solución de dichos
problemas, a más del ingenio y buen criterio del estudiante. (Garret, 1989;
Woods et al.1985; Chi y Glaser, 1986; Gil, et al., 1988; Perales, 1993; Her=
ron,
1996).
En
este orden de ideas se puede manifestar que los problemas que se pueden
resolver a partir de las ecuaciones deferenciales ordinarias (EDO), son tod=
as
aquellos en donde se pueden establecer variaciones o intervalos entre las
variables que están actuando en el problema físico (crecimiento o
decrecimiento), de no existir variación no es susceptible a resolver con ec=
uaciones
diferenciales.
De
lo anterior surge la pregunta o problema científico ¿cómo resolver y cómo
obtener los datos que orienten a la solución de los problemas de aplicación
geométrica de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)? A continuación=
, se
presentan las ideas fundamentales para obtener la ecuación diferencial que
describe el fenómeno físico.
Metodologia.
Como
primera fase, se debe analizar el contexto que rodea al problema geométrico=
en
cuestión, es de decir se debe determinar las partes que están involucradas =
en
el problema; estos son datos que se les puede considerar como explícitos, l=
os
que se muestran con valores o condiciones claras, y los implícitos, que se
consideran como datos que están en el problema, pero que no se los define c=
laramente,
pero que están alrededor del problema físico y que son un aporte importante
para resolver el problema. Los pasos que determinan esta fase se exponen a
continuación:
Paso
1.- Establecer un sistema de referencia y un punto de análisis, esto es, ha=
brá
que seleccionar el tipo de coordenadas apropiado para dar solución al probl=
ema
y donde se encuentra el punto referencial para el análisis (es decir el ori=
gen
de las coordenadas).
Paso
2.- Graficar en el sistema de referencias seleccionado, una posición cualqu=
iera
del problema en estudio. Esto implica que hay que evitar posiciones o
condiciones especiales que puede presentarse en el problema, la razón es qu=
e en
ocasiones el resolver para dichas posiciones no se logra resolver el proble=
ma
en forma general, sino más bien solo se justifica apropiadamente para estas
posiciones especiales.
Paso
3.- Identificar claramente las variables presentes en el problema y como es=
tán
relacionadas, es decir se debe definir la dependencia entre dichas variable=
s, es
decir determinar claramente cuál es la variable dependiente y cual la
independiente.
Paso
4.- Establecer la geometría existente alrededor del problema.
Paso
5.- Determinar cuáles son las condiciones iniciales que están involucradas =
en
el problema y cuáles son las posiciones o condiciones especiales que se
encuentran en el problema pues esto ayudará tanto al análisis del problema,
como también serán elementos de comprobación en el desarrollo de la solución
del problema.
La
segunda fase corresponde a la síntesis de datos. Una vez que se haya analiz=
ado
y que se tenga expuesto las partes del problema, se debe sintetizar los dat=
os
presentes, procurando que estos se relacionen entre sí a partir de conceptos
del análisis matemático o de otros conceptos de otros campos de conocimient=
o,
como la geometría analítica, el álgebra lineal, la física u otros conceptos=
que
estén presentes en el problema; tales como velocidad, aceleración, distanci=
as,
intensidad de corriente, calor, y otras magnitudes físicas.
Por
ejemplo, si un dato es distancia y otro es el tiempo, estos valores pueden
relacionarse a partir del concepto de velocidad. Todas estas magnitudes deb=
en
ser analizadas y sintetizadas de tal manera que presenten una interrelación=
coherente
y lógica en el problema a resolver.
El
lograr sintetizar es un paso importante, ya que esto permite incorporar los
datos existentes y los valores que se intenta calcular, a partir de estos se
logra determinar claramente la relación que existe entre las variables y de
esta manera se mostrará al final el modelo matemático expresado en forma de
ecuación diferencial, que luego se resolverá apropiadamente para encontrar =
su
solución.
La
tercera fase corresponde a la interpretación de la solución, esto con el ob=
jeto
de verificar que lo obtenido representa el fenómeno físico resuelto y que p=
uede
ser aplicado en otras circunstancias parecidas como un modelo matemático
cierto. (Sepúlveda, 2004).=
Resultados.
Para
observar la utilidad de la metodología empleada se desarrolla una aplicación
geométrica cuya problemática se plantea de a
siguiente manera:
Se
desea encontrar la curva que pase por el punto A (0,2), en la que se forme =
un
triángulo isósceles con la recta tangente, el eje y el radio vector al punt=
o de
tangencia, donde la base del triángulo isósceles es la recta tangente.
- El sistema seleccionado es el
rectangular.
- Se grafica una posición cualquiera q=
ue
ilustre el problema.
Figura 1. Gráfica de una posición general
Fuente: Elaboración propia.
- La variables en este caso son x e y,=
y
se puede observar la existencia de variación de estas.
-
Los datos que se tiene de manera explícita son los siguientes:
Punto por donde pasa la curva A
(0,2).
Tangente a la curva.
Triángulo isósceles PCQ.
Radio vector CP
-
Los datos que se tiene de forma implícita son:
De
la tangente a la curva se tiene que El
punto Q es la intersección de la recta tangente con el eje y de coordenadas=
Del
triángulo isósceles se tiene que el segmento CP es igual al segmento CQ. Cuando
se habla de una curva entonces se trata de una función y=3Df(x). Síntesis Se
trata de relacionar los datos recogidos en forma explícita e implícitamente,
para estos nos ayuda algunos conceptos matemáticos y de otros campos del
conocimiento. (Vergnaud,
1990) Del
punto A (0,2), se deduce que es una condición inicial o de frontera. Es dec=
ir,
me informa que cuando x=3D0 entonces y=3D2. El
segmento OP de acuerdo a la distancia entre los puntos en geometría analíti=
ca
es =
Donde
esta expresión representa la síntesis de la existencia de un triángulo
isósceles en el problema. Veamos
ahora como se encuentra relacionada la tangente en el problema, para lo cual
podemos observar que la recta tangente corta con el eje y para formar el tr=
iángulo
isósceles, por lo que es necesario encontrar la ecuación de dicha recta, que
está dada por: Esta
ecuación sintetiza a la recta tangente, que resulta ser la base del triángu=
lo
isósceles. Si
relacionamos las ecuaciones podemos encontrar la siguiente ecuación diferen=
cial
ordinaria de primer grado, primer orden, que sintetiza al problema: =
Esta
ecuación es una ecuación homogénea cuya solución, luego de remplazar Es
Falta
integrar la condición inicial del problema esto es si Cuya
gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y pasa por el punto A (0,2),
que sintetiza de forma global la formación de un triángulo isósceles, según=
las
condiciones planteadas y cumple en cualquier punto sobre la curva. Figura 2. Posición real de =
la
función y el triángulo isósceles Fuente: Elaboración propia. Como
se puede observar se llega a la solución de la aplicación geométrica de la =
EDO
con la utilización de la metodología expuesta, la cual se puede implementar=
en
forma análoga a otros problemas de la misma índole. Conclusiones.
· =
La
aplicación de la metodología propuesta se constituye en una herramienta fác=
il y
apropiada para resolver problemas de aplicaciones geométricas de las ecuaci=
ones
diferenciales ordinarias. · =
La
metodología se sustenta fundamentalmente en el análisis, encontrar las part=
es
que están involucradas en el problema y en una síntesis de dichas partes pa=
ra
relacionarlas en forma apropiada de acuerdo al problema que se resuelve, pa=
ra
lo cual se necesita de conceptos de otros campos de conocimientos. · =
Una
vez sintetizadas las ideas y conceptos principales presentes en el problema=
, se
logra encontrar la ecuación diferencial del problema, la cual, mediante los
procedimientos establecidos de acuerdo al tipo de ecuación diferencial, se
podrá dar solución sin mayor dificultad. Es importante que al final de dar
solución se debe comprobar la solución. Referencias
bibliográficas.
PARA
CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
<=
span
style=3D'font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:"Times New Roman",se=
rif'>Insuasti
Castelo, R. M., & Mendoza Castillo, J. R. (2020). Propuesta metodológica
para la solución de aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales
ordinarias . ConcienciaDigital, 3=
(3.1),
348-357. https://doi.org/10.33262/concienciadigital.v3i3.1.1404
El artículo qu=
e se
publica es de exclusiva responsabilidad de los autores y no necesariamente
reflejan el pensamiento de la Revi=
sta Conciencia
Digital.
El artículo queda en propiedad de=
la
revista y, por tanto, su publicación parcial y/o total en otro medio tiene =
que
ser autorizado por el director de la Revista
Conciencia Digital.
[1] Escuela Superior Politécnica=
de
Chimborazo, Facultad de Mecánica, Riobamba, Ecuador, rinsuasti@espoch.edu.e=
c
[2] <=
span
style=3D'mso-spacerun:yes'> Escuela
Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Recursos Naturales, Riobamb=
a,
Ecuador, jmendoza@espoch.edu.ec
www.concienciadigital.org
= Vol. 4, N°3.1, p. 348-357, agosto, 2020