=
Influencia
del incremento de masa en la variación de la energía mecánica y cantidad de
movimiento lineal en un oscilador armónico simple horizontal
Influence of the
increase in mass on the variation of mechanical energy and momentum in a
horizontal simple harmonic oscillator
Isidoro
Enrique Tapia Segarra.[1], =
Mayra
Alejandra Pacheco Cunduri.[2] &=
amp;
Esteban Augusto Guevara Cabezas.[3]
In the present study, the theory of Energy and Lin=
ear
Moment is applied in the simple harmonic motion M.A.S. demonstrating that t=
he
increase in mass affects the conditions of a simple harmonic oscillator,
depending on the position in which this disturbance occurs causes the
mechanical energy to be reduced if this increase occurs in the equilibrium
position, or be maintained in the event that the disturbance due to the
increase in mass occurs at one end of the oscillation. With this application
the two most important laws of the Physics study have been demonstrated, su=
ch
as: The law of conservation of mechanical energy combined with the law of
conservation of linear motion in inelastic shocks, in which the speed after
impact It turns out to be the same since the bodies move with a joint speed=
.
Resumen.
En el presente estudio se aplica la teoría de la E=
nergía
y Momento Lineal en el Movimiento armónico simple M.A.S. demuestra que el
incremento de masa afecta las condiciones de un oscilador armónico simple,
dependiendo de la posición en la que se produce esta perturbación haciendo =
que
la energía mecánica se reduzca en caso de que este incremento se produzca e=
n la
posición de equilibrio, o se mantenga en el caso de que la perturbación deb=
ido
al incremento de masa se produzca en un extremo de la oscilación. Con esta
aplicación se consigue demostrar las dos leyes más importantes del estudio =
de
la Física como son: La ley de la conservación de la energía mecánica combin=
ada
con la ley de la conservación de movimiento lineal en choques inelásticos, =
en
la que la velocidad después del impacto resulta ser la misma ya que los cue=
rpos
se mueven con una velocidad conjunta.
Palabras claves: Incremento de masa, Energía mecánica, Oscilador Armónico Simple,
Cantidad de Movimiento.
Introducción.
En el estudio =
de
la física, resulta de especial importancia el análisis de movimientos
oscilatorios y ondas debido a que están presentes en varios fenómenos propi=
os
de la naturaleza tales como sentarse en un columpio y hacerlo oscilar, los
sismos, movimientos telúricos y sistemas que experimenten o impliquen
vibraciones (de Mesa, 2005).
El movimiento
oscilatorio se genera, debido a que un sistema determinado tiene la capacid=
ad
de volver exactamente a la configuración original o de equilibrio y debido a
que existe una fuerza recuperadora que actúa en el mismo para que este lo h=
aga.
En el caso de un resorte, al separarlo de la posición de equilibrio, aparece
una fuerza recuperadora (de tipo elástico) que tiende a devolverlo a esa
posición de equilibrio. Es lo que sucede al soltarlo, solo que debido a que=
el
sistema lleva una cierta velocidad, esta permite que se supera la posición =
de
equilibrio inicial, y entonces nuevamente, actúa la fuerza de recuperación,
pero esta vez en sentido opuesto y tiende a devolverlo nuevamente a la posi=
ción
de equilibrio inicial. Este fenómeno se produce una y otra vez (Camacho, 20=
19).
El movimiento
oscilatorio de un sistema mecánico constituye en la Ingeniería Mecánica y
eléctrica, uno de los campos de estudio más importante y relevante. El
oscilador armónico n-dimensional o con n grados de libertad es un modelo bi=
en
conocido y elemental tanto en física como en matemáticas. Por ejemplo, apar=
ece
como el modelo lineal en el estudio de oscilaciones, que es un área de inte=
rés
común en ambas disciplinas (Vélez, 2016). Existen varios tipos de sistemas
oscilatorios, pero uno de estos sistemas que en varias ocasiones ha sido ob=
jeto
de estudio, es el sistema conformado por una masa-resorte al cual conocemos
como oscilador armónico, debido a las diferentes aristas que este puede
presentar y sus múltiples aplicaciones (Domínguez, 2015). El movimiento
oscilatorio de vaivén es especialmente sencillo en un caso que llamamos
Movimiento Armónico Simple (MAS). Un sistema que se mueve así, también se d=
ice
que se comporta como un Oscilador Armónico Simple (OAS) (Donoso León, 2017)=
. Entre
los estudios más comúnmente realizados sobre este sistema, se encuentran
aquellos relacionados con los efectos estáticos y dinámicos del mismo.
En el presente=
estudio
se presenta la aplicación de la teoría de la Energía y momento Lineal en el
Movimiento armónico simple M.A.S. (García Barneto &
Bolívar Raya, 2005), éste problema involucra un
sistema masa resorte como una aplicación del movimiento armónico simple M.A=
.S.,
combinado con cantidad de movimiento lineal. El problema planteado consiste=
en analizar
las distintas posiciones, velocidades y aceleraciones que tiene una masa un=
ida
a un resorte con un extremo fijo como una función del tiempo, si este siste=
ma
masa resorte es afectado o perturbado por un aumento de masa m, esto hará q=
ue
se modifique las condiciones de posición, velocidad y aceleración en las
siguientes oscilaciones, de la misma manera se plantea determinar la variac=
ión
de la energía mecánica del sistema que puede mantenerse constante o puede
variar dependiendo de la posición en donde se produce el aumento de la masa=
que
se pega a la masa M en dos posiciones diferentes con un choque inelástico, =
así
como su período de oscilación que también se verá incrementado.
Para el respec=
tivo
estudio se utiliza la teoría del movimiento armónico simple combinado con la
conservación de la cantidad de movimiento lineal con la aplicación de conce=
ptos
matemáticos, físicos como choques inelásticos y que despierta gran interés =
en
los estudiantes de los primeros semestres de las carreras de Ingeniería (Ga=
rcía
Barneto & Bolívar Raya, 2005).
Metodología.
Para el anális=
is
cinemático y energético del sistema masa resorte se utiliza una maqueta
artesanal que consta de una base metálica, en donde se monta el sistema masa
resorte, una masa principal (M en kilogramos), la misma que va unida a=
un
resorte de constante (K en N/m), una vez puesto en marcha el movimiento se
incrementa una masa (m en kilogramos ) que quedará pegada a la masa princip=
al
M, dependiendo de la posición en donde se produzca éste incremento de masa =
se
conservará o se reducirá la cantidad de movimiento lineal y la energía mecá=
nica
E siendo ésta la suma de la energía cinética Kc y la energía potencial elás=
tica
UE (Sears =
& Young, 2009). según la ecu=
ación:
E=3D
Kc+ UE (J) (Joule) =
ec.1
Para analizar =
el
movimiento se han considerado dos experimentos en condiciones de posición
distintas, para lo cual se partirá de condiciones iniciales de posición
Fuente: Elaboración pro=
pia.
Primera condición de movimiento:
Una vez que se ponga en marcha el oscilador armónico simple, se incrementará
masa cuando el oscilador pase por la posición x=3D0, en donde el oscilador =
tiene
la velocidad máxima, está masa incrementada (m en kg) quedará pegada a la masa del oscilador =
(M en
kilogramos) (Serway & Jewett, 2008), se desea pro=
bar
que el incremento de masa del osci=
lador
cambia su velocidad pasando de una velocidad inicial (u en m/s) a una velocidad menor después del choqu=
e (v
en m/s) porque se produce una disminución de la cantidad de movimiento lineal (P e=
n kg.m/s) después de producirse un choque inelástico, se
determinará también su amplitud in=
icial (A1),
la nueva amplitud (A2), debido a éste cambio de amplitud se cuantificará
Segunda condición de movimiento.
Una vez que se
ponga en marcha el oscilador armónico simple en la segunda condición de
movimiento en la que se incrementará una masa (m en kg) cuando el oscilador
pase por la posición x=3DA, en donde el oscilador tiene la velocidad nula, =
está
masa incrementada quedará pegada a la masa del oscilador (M en kilogramos) =
con
la característica de ser un choque inelástico que hará que la masa del
oscilador mantenga su amplitud A1=3DA2 después del choque (Sánchez, 2015), esto hará q=
ue cambie
su período de oscilación pasando de un período (T1 en s) a un período mayor=
(T2
en s), es decir T2˃T1 debido a que el sistema se vuelve más lento (
Determinación del per=
íodo
t y frecuencia angular w
En la figura 1=
se
muestra un oscilador armónico simple constituido por una masa M=3D10 kg y un
resorte cuya constante elástica es K=3D100 N/m, con estos datos se determin=
a el
período de oscilación T1 mediante la ecuación 2:
Determinación de la
amplitud a1 y del ángulo de fase ф
La amplitud A1
viene determinada por la ecuación 4, en donde (Xo=3D 0.18
m) representa el desplazamiento inicial del oscilador, y (Vox=3D 1.00 m/s)
representa la velocidad inicial positiva del oscilador: El ángulo de f=
ase Ф se determina mediante la
ecuación 5: =
Comprobación de las
ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del oscilador armónico simp=
le
con los valores dados en las condiciones iniciales. Con lo que que=
da
comprobado que las ecuaciones del movimiento están bien determinadas, porque
los valores coinciden con las condiciones iniciales del problema planteado.=
Resultados obtenidos. Determinación de la velocidad máxima u1 del oscila=
dor
antes del incremento de masa m. La velocidad
máxima del oscilador armónico simple se produce cuando la masa M alcanza la
posición de equilibrio en x=3D0, se tomará el valor positivo de la velocida=
d (u
en m/s), ésta velocidad es la medida antes del c=
hoque. Comprobación de la ecuación de la cantidad movimie=
nto
lineal para la primera condición de movimiento. Para choques
inelásticos la cantidad de movimiento lineal antes del incremento de masa es
igual a la cantidad de movimiento lineal después del incremento de masa, en
donde u2=3D0 representa la velocidad de la masa incrementada, y V2 es la
velocidad conjunta después del incremento de masa m, aplicando la ecuación =
de
la cantidad de movimiento lineal se tiene: Po=3DPf M*u1+m*u2 =3D =
(M+m)*<=
/span>V2 ec.(9) Despejando V2,=
que
representa la velocidad después del incremento de masa =
de la ecuación 9 se tiene la ecua=
ción
9: =
A2=3D0.347m <A1=3D0.364 m Comprobación de la energía mecánica para la primera
condición de movimiento. Para la primera
condición de movimiento se desea comprobar que la energía mecánica no se
conserva, ya que la amplitud A2 es menor que la amplitud A1: La energía mec=
ánica
E1 antes del incremento de masa en el oscilador armónico simple es: La energía
mecánica E2 después
del incremento de masa en el oscilador armónico simple es: Por lo tanto, =
se
puede establecer que existe una pérdida de energía mecánica porque la masa =
se
desliza contra el bloque en movimiento durante el incremento de masa. E2<=
;E1. Comprobación de la energía mecánica para la segunda
condición de movimiento. En la segunda
condición de movimiento cuando la masa se incrementa en el momento en que la
velocidad que alcanza el oscilar es nula en el extremo positivo X=3D+A, aqu=
í la
cantidad de movimiento es nula antes y después del incremento de masa porqu=
e su
velocidad es nula, y el incremento de masa no afecta a la energía mecánica.=
Es decir E1=3DE2, y la amplitud también es la misma debid=
o a que
A1=3DA2. E1=3DE2 =
=
Determinación del período de oscilación t2 después=
del
incremento de masa m. El período de
oscilación T2, es el tiempo que tarda el oscilador en dar una oscilación
completa, este se verá incrementado en las dos condiciones de movimiento de=
bido
al incremento de masa, ya que el oscilador se mueve más lento, por lo tanto=
, el
período de oscilación se incrementa: Con lo que que=
da
determinado que T2=3D2.08s ˃ T1=3D1.99 s. Gráficas de la posición, velocidad y aceleración d=
el
oscilador armónico simple en condiciones normales.
Conclusiones:
ˇ =
Como se ha podido comprobar las ecuaci=
ones del
movimiento armónico simple tienen la forma de una onda con un ángulo de des=
fase
de -1.054 rad, ya que la masa parte con condiciones iniciales Xo=3D0.18m, y con una velocidad inicial positiva Vox=
=3D+ 1m/s.
ˇ =
En la posición de movimiento 1 el osci=
lador
alcanza una velocidad máxima u1=3D+1.15 m/s cuando pasa por la posición X=
=3D0, en ésta posición se produce un incremento de masa m que p=
roduce
una reducción de la velocidad a un valor V2=3D1.045 m/s. El período de osci=
lación
cambia de T1=3D1.99s a T2=3D2.08 s. La amplitud también se reduce de A1=3D0=
.364 m a
un valor A2=3D0.347 m en las siguientes oscilaciones después del incremento=
de
masa m. Por lo tanto la energía mecánica cambia =
de
E1=3D6.62 J a E2=3D6.02 J, esto es debido al incremento de masa que hace qu=
e el
oscilador no alcance la amplitud A1.
ˇ =
En la posición de movimiento 2 el osci=
lador el
oscilador alcanza el extremo superior derecho con una velocidad nula u1=3D0=
m/s,
V2=3D0 m/s, por lo tanto no hay energía cinética, siendo en éste punto solo
energía potencial elástica máxima que es igual a la energía mecánica total =
E,
el incremento de masa no cambia esta energía acumulada en el resorte E1=3DE=
2=3D6.62
J, la amplitud se mantiene A1=3DA2=3D0.634 m, el período en las posteriores
oscilaciones se incrementa de T1=3D 1.99 s a T2=3D2.08s.
ˇ =
Se ha podido demostrar en éste experim=
ento
como afecta el incremento de masa en dos posiciones diferentes del oscilado=
r,
comprobando las dos leyes importantes en el estudio de la Física Clásica co=
mo
son: la Ley de la conservación de =
la
energía mecánica, conjuntamente con la Ley de la cantidad de movimiento lin=
eal
con la aplicación de choques inelásticos, que indica que para éste tipo de =
choques
la cantidad de movimiento se conserva, a diferencia que la energía mecánica
toma valores diferentes debido al intercambio de energía para la posición de
movimiento 1, pero se conserva para la posición de movimiento 2, siendo la
cantidad de movimiento lineal en ésta posición nula por encontrarse en ese
punto el sistema con velocidad igual a cero.
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PARA CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
Tapia Segarra,=
I.
E., Pacheco Cunduri, M. A., & Guevara Cabez=
as, E.
A. (2020). Influencia del incremento de masa en la variación de la energía
mecánica y cantidad de movimiento lineal en un oscilador armónico simple
horizontal. ConcienciaDigital, 3(=
3),
552-563. h=
ttps://doi.org/10.33262/concienciadigital.v3i3.1357
El artículo que se publica es de
exclusiva responsabilidad de los autores y no necesariamente reflejan el pe=
nsamiento
de la Revista Conciencia Digital.<=
/b>
El
artículo queda en propiedad de la revista y, por tanto, su publicación parc=
ial
y/o total en otro medio tiene que ser autorizado por el director de la Revista Conciencia Digital.
[1] Escue=
la
Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Informática y Electrónica,
Riobamba, Ecuador, itapia@espoch.edu.ec
[2] Escue=
la
Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Informática y Electrónica,
Riobamba, Ecuador, mayra.pacheco@espoch.edu.ec
[3] Escue=
la
Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Informática y Electrónica,
Riobamba, Ecuador, esteban.guevara@espoch.edu.ec