![](3D"JACOMEMODELOMATEMATICO_archivos/image002.gif")
Obtención del modelo matemático adec=
uado
o función de transferencia del mezclador para la laboración
de crema solar basado en datos de operación del equipo que permita
llevarlo a puntos específicos de funcionamiento
Obtaining
the appropriate mathematical model or transfer function of the mixer for the
preparation of sunscreen based on equipment operation data that allows it t=
o be
taken to specific points of operation
Marcos
Jácome., Cristian Germá=
;n Santiana Espín., Darío Fernando
Guamán Lozada., María Jos&eacut=
e;
López Montero.& <=
span
style=3D'mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:115%'>Raquel Leticia Coba Ca=
rrera.
The present work obtains the function of transfer of the mixer to ob=
tain
solar cream from the Laboratory of Industrial Processes of the Faculty of
Sciences of the ESPOCH. As will be seen below, based on the data obtained f=
rom
field tests, the dynamic behavior of the mixer approximates the mathematical
model or transfer function FT of a first-order system, which does not have
over-peaks. Any process can be described in terms of a first or second order
system, which are two models of pre-established transfer functions, and then
reduce the gap between the calculated FT vs. the model of the behavior of t=
he
process when modifying fine way the coefficients=
of
the FT. When the calculated FT and the data-based model differ with respect=
to
over-oscillation (Mp), establishment time (ts), and steady state error (ep) it is necessary to r=
educe
this difference by adding a PID series block to the FT calculated.
Five trials have been conducted to describe the variance of the beha=
vior
of the variable of interest (temperature) over time. From these tests, beca=
use
the trend or concentration of the data is centered around the mean, a
representative table of all the data is defined with the statistical criter=
ion
of the arithmetic mean. By plotting these points and drawing lines on them,=
the
behavior curve of the temperature over time is appreciated. This curve comp=
lies
with the response of a first order system to a unit step input.<=
/span>
With the information provided by the graph the FT of the equipment is
calculated, for this we calculate the Tao parameter that represents the
response of the system when it reaches 63.2% of the final value reached by =
the
process that coincides with the value of K. It is replaced in the model of a
first order system the value of K and Tao. Finally, we assign a unitary step
input to the calculated transfer function, graph it in Matlab
and compare it with the graph of the system response curve of the real-time
process data to verify the margin of error between them. Because the parame=
ters
taken from the graph of the process have been rigorously chosen, we can see
that the models approach in such a way that the error or difference of grap=
hs
tends to zero. It can be concluded that the calculated transfer function is
adequate to represent the dynamic behavior of the process. The relevance of
this algorithm lies in the fact that it is used to obtain process or plant
transfer functions through the data of its responses to a step-type entry. =
This
is applicable for any industrial process or plant of order one, which in
practice, they are 90%.
Keyword=
s: Transfer Function, Regulator, Process, Operation,=
Dynamic
Behavior
Resumen
El presen=
te
trabajo obtiene la función de transferencia del mezclador para
obtención de crema solar del Laboratorio de Procesos Industriales de=
la
Facultad de Ciencias de la ESPOCH. Como se verá a continuació=
n,
basándose en los datos obtenidos de pruebas de campo, el comportamie=
nto
dinámico del mezclador se aproxima al modelo matemático o fun=
ción
de transferencia FT de un sistema de primer orden, el cual no posee
sobre-picos. Todo proceso se lo puede describir en términos de un
sistema de primer o segundo orden, los cuales son dos modelos de funciones =
de
transferencia preestablecidos, y a continuación reducir la brecha en=
tre
la FT calculada vs el modelo de la gráfica del comportamiento del
proceso al modificar de manera fina los coeficientes de la FT. Cuando la FT
calculada y el modelo basado en datos, difieren con respecto a sobre-
oscilación (Mp), tiem=
po de establecimiento (ts), y error en régimen permanente (ep)
es necesario reducir esta
diferencia agregando un bloque en serie PID a la FT calculada.
Se han re=
alizado
cinco ensayos para describir la varianza del comportamiento de la variable =
de
interés (temperatura) a través del tiempo. De estos ensayos,
debido a que la tendencia o concentración de los datos se centra
alrededor de la media, se define una tabla representativa de todos los datos
con el criterio estadístico de la media aritmética. Graficando
estos puntos y trazando l&iacut=
e;neas sobre ellos, se aprecia la curva de comportamiento de la temperatura en el tiempo. Esta curva cumple con la res=
puesta
de un sistema de primer orden ante una entrada escalón unitario.
Con la
información que facilita la gráfica se calcula la FT del equi=
po,
para ello calculamos el parámetro Tao que representa la respuesta del
sistema cuando alcanza un 63.2% del valor final que alcanza el proceso el m=
ismo
que coincide con el valor de K. Se reemplaza en el modelo de un sistema de
primer orden el valor de K y Tao. Finalmente, a la función de
transferencia calculada asignamos una entrada escalón unitario, la
graficamos en Matlab y comparamos con=
la
gráfica de la curva de respuesta del sistema de los datos del proces=
o en
tiempo real para verificar el m=
argen de error entre ellos. Debido
a que los pará=
metros tomados
de la gráfica d=
el proceso
han sido rigurosamente escogidos podemos apreciar que los modelos se
aproximan de tal modo que el error o diferencia de graficas tiende a cero. =
Se
puede concluir, que la función de transferencia calculada es la adecuada
para representar el comportamiento dinámico del proceso. La relevancia
de este algoritmo radica en que sirve para obtener funciones de transferenc=
ia
de procesos o de plantas mediante los datos de sus respuestas ante una entr=
ada
de tipo escalón. Esto es aplicable para todo proceso industrial o pl=
anta
de orden uno, que, en lo práctico, lo son en un 90%.
Palabras clave: /Función de Transferencia/ /Regulador/ /P=
roceso/
/Operación/ /Comportamiento Dinámico/
Introducción
Un proceso a nivel industri=
al se
caracteriza y mejora en base a tres parámetros: sobre-oscilación
(Mp), tiempo de establecimiento (ts),
y error en régimen permanente (ep). Cuan=
do se
desea modificar o mejorar un proceso lo que se hace es definir las condicio=
nes
de diseño que son los valores de los parámetros Mp, Ts y ep
a los cuales se desea llevar el mismo. Lo que se hace es calcular un bloque
adicional PID que conectándolo en serie antes de la planta lleve al
sistema a las condiciones de diseño buscadas. Para el diseño<=
w:Sdt
Citation=3D"t" ID=3D"-1358577640"> (Brito, 2000) de este bloque=
PID
existen métodos experimentales =
y métodos basados en diseño matemático. Se utilizan
los métodos experimentales cuando se desconoce la
función de transferencia de la planta, pero se conoce la gráf=
ica
de la respuesta en el tiempo o los datos representativos de la variable de
interés, que en lo práctico sucede en la mayoría de
plantas industriales. Uno de los métodos más populares es de
Ziegler y Nichols el que se basa estudiando la curva de respuesta del proceso ante una entrada
tipo escalón. O l=
o que
es lo mismo, la curva de respuesta de alguna variable del sistema, en nuest=
ro
caso la temperatura ante un valor de deseado Set point=
que gráficamente corresponde a una función escalón
unitario de magnitud igual a Set point. Por eje=
mplo,
si escalón unitario es u(t)=3D1 y Set point=3D20
grados centígrados. La entrada matemática corresponderí=
;a a 20u(t).
Ziegler y Nichols maneja un=
a tabla
para calcular los valores de los parámetros del PID manipulando con líneas tangentes a la gráfica de la respuesta en el tiempo
de la variable de interés, en este caso temper=
atura (Brito & et=
al,
Diseño y construcción de un reactor batch para la
obtención por transesterificación de biodiesel a partir de
aceite usado de cocina, 2008). Dependiendo d=
e las
líneas que asignemos manualmente a libre criterio del diseñador, con la consideración que a mayor pendiente se tendrá mejor PID reemplazando los parámetros de los puntos que cruce la línea
tangente. Para cada línea tangente se obtendrá diferentes
parámetros y con ayuda de la tabla diferentes reguladores PID. En Ma=
tlab
podemos simular la respuesta del sistema ante cada PID calculado. Esto se h=
ace
cuantas veces sean necesarias hasta encontrar el PID que más se acer=
que
a las condiciones de diseño planteadas. Es un método e=
xperimental basado en ensayo
y error al cual recurren
la mayoría de industrias por el
desconocimiento de la función de transferencia de la planta.
Los métodos basados =
en
diseño matemático permiten calcular de manera precisa el
regulador o compensador PID que lleve al sistema a las condiciones de
diseño deseadas (Brito, Texto
Básico de Ingeniería de Plantas, 2000). No es necesar=
io
calcular varias veces experimentalmente los reguladores e irlos verificando
continuamente en Matlab. Es suficiente y necesario con una sola vez pues se basa en la precisión de las matemáticas. Este método es exacto y fiable. Siempre
y cuando se escojan adecuadamente los pará=
metros de la
gráfica de respuesta. Además, =
una vez conseguida la función de transferencia del proceso reporta una gran flexibilidad al sis=
tema
pues para variar las condiciones de diseño, simplemente calculamos el
regulador que lo satisfaga pues la función de transferencia FT es li=
neal,
invariante en el tiempo e independiente de las entradas o salidas. La FT es=
una
característica inherente del proceso siempre y cuando sean lineales e
invariantes en el tiempo LTI. Los cual lo son un 90% de procesos y el 10%
restante se los puede convertir a sistemas LTI mediante el criterio de
linealización alrededor del punto en que se vaya a operar. Para el
criterio del cálculo matemático del regulador uno de los
más utilizados es el diseño del regulador PID (Fiallos & Zurita, 2016) basado en el L=
ugar
Geométrico de las Raíces LGR.
Por ello el motivo del pres=
ente
trabajo de investigación es encontrar la función de transfere=
ncia
que se aproxime a los datos del comportamiento del proceso en la variable t=
emperatura
(salida) ante un set point o expresada
en forma matemática como una entrada
escalón. Utiliza=
ndo los datos
de la gráfica del proceso del comportamiento de la temperatura en el
tiempo y siendo reemplazados en los modelos matemáticos preestableci=
dos
de funciones de transferencia de primero o segundo
orden, según sea el caso. Este análisis se puede aplicar
cuando existen procesos en secuencia, en paralelo e
inclusive a plantas (Brito, Texto Básico de Ingeniería de Plantas, =
2000).
Metodología
Se aplica la metodolog&iacu=
te;a
experimental de la cual la variable independiente son los datos que se obtiene del comportamie=
nto de la temperatura del material a ser procesado dentro del evaporador a través del tiem=
po. La
variable dependiente y motivo del presente estudio son las diferentes funci=
ones
de transferencias calculadas. Las cuáles serán validadas
dependiendo del grado de aproximación con respecto a la curva del
comportamiento dinámico del proceso. La correlación entre est=
as
dos variables principales y el manejo de otras variables secundarias se det=
alla
a continuación. Para calcular
la función de transferencia de la planta (Brito, Texto
Básico de Ingeniería de Plantas, 2000) primero
debemos obtener datos con el proceso en operaci&oacu=
te;n
de la variable de interés, en nuestro caso la temperatura del materi=
al
dentro del evaporador en función del tiempo. Se han tomado
datos de cinco ensayos debido
a que la tendencia de e=
stas
cinco muestras es alrededor de los mismos puntos, o en otras palabras la
varianza es cercana a cero. En el caso de que la información sea muy
dispersa entre si se recomienda utilizar métodos estadísticos para conocer
el número de muestras necesarias para que repre=
senten
adecuadamente al total de datos población del proceso. Estas cinco t=
omas
de valores equivalen, desde el punto de vista estadístico, la muestra que representa la población de todas las posibles respuestas de los ensay=
os que
se pueden realizar debido a que, como se mencionó anteriormente, tie=
nden
hacia los mismos puntos o la varianza se acerca a cero. Este análisis
sirve para determinar la tabla de datos representativos o más comunes
del comportamiento dinámico de=
la temperatura (Brito, Texto Básico de Operaciones Unitarias I, 2000)=
a través del tiempo. Se observa que la tendencia de cada conjunto
de cinco datos es
alrededor de su media, por esta razón, se utiliza el criterio de la media
aritmética para<=
span
style=3D'letter-spacing:-.5pt'> conseguir la tabla representativa final.
Se
ubica en un plano a manera de puntos las coordenadas de los pares ordenados de la tabla final,
de tiempo versus temperatura. Se une con líneas los puntos y se tiene
una idea gráfica del comportamiento en el tiempo de la temperatura.
Además, corresponde a un sistema con función de transferencia=
FT
de primer orden. Para calcularla CITATION Oga10 \l 2058 (Ogata, 2010), se obtiene los
parámetros K y Tao de la gráfica. Se hace el análisis
matemático pertinente y se adquiere la FT buscada al reemplazar los
parámetros K y Tao en el modelo de un sistema de primer orden.
Se asigna una entrada de ti=
po
escalón unitario a la FT calculada, se gráfica y compara con =
la
gráfica del trazo
de los puntos de la tabla representativa descrita en el párrafo anterior.
Se verifica que todo el
procedimiento anteriormente realizado ha sido el correcto y adecuado
razón por la cual los modelos de comportamiento entre sí son<=
span
style=3D'letter-spacing:-.35pt'> equivalentes.
Resultados y Discusión
Debido a que el comportamiento de la variable
de interés la temperatura, de donde se tomaron los datos tiende o se concentran ha=
cia un
mismo valor se utilizó la media aritmética para obtener la ta=
bla
representativa, detallada en la Tabla =
1:
Tabla 1. Representación =
de
la toma de cinco ensayos del reactor.
|
t
|
0
|
0,005
|
0,01=
|
0,015
|
0,02<=
o:p>
|
0,025=
|
0,03
|
0,035
|
0,04
|
0,045
|
0,05
|
0,055
|
0,06
|
0,065
|
0,07
|
0,075
|
|
T (ºC)
|
0
|
21,5
|
35,4=
|
43,2
|
48,7<=
o:p>
|
51,85=
|
53,6
|
54,6
|
55,1
|
55,6
|
55,3
|
55,8
|
55,85
|
55,9
|
55,95
|
56
|
La
ubicación de cada par ordenado
de la tabla 1 y el trazo
con líneas sobre
estos puntos se visualiza
en la gráfica 1. Con esto tenemos la idea de la gráfica que
representa el comportamiento en el tiempo de la temperatura de los material=
es
que se encuentran dentro del ev=
aporador.
=
![](3D"JACOMEMODELOMATEMATICO_archivos/image004.jpg")
=
Gráfica 1. Trazo de los
puntos de los pares ordenados de la Tabla 1
La gr&aacu=
te;fica 1 corresponde a un sistema
de primer orden. De la forma descrita
en la Ec. 1. Se procede
a calcular la función de transferencia FT de la Ec. 1 con los datos =
de
la gráfica 1.
𝑡 =3D 0.01051 𝑠𝑒𝑔𝑢&=
#119899;𝑑𝑜𝑠
=3D 𝜏 (valor de Tao respecto al tiempo) La función de
transferencia de la planta es:
56
![](3D"JACOMEMODELOMATEMATICO_archivos/image027.gif")
𝐺𝑝(𝑠) =3D 0.01𝑠
+ 1
En la gráfica 2 se observa el código en =
MATLAB
para el ingreso de los parámetros de las dos gráficas para
posteriormente ser comparadas. Se observa que la tabla del comportamiento e=
n el
tiempo de los datos de temperatura, se detallan en dos vectores tanto t y <=
span
class=3DSpellE>Temp. Además, en la parte inferior de detalla
la función de transferencia calculada
con nombre G que representa Gp(s).
=
Gráfica 2.
Código realizado en MATLAB para el análisis del modelo calcul=
ado
con los datos del ensayo Tabla 1
En la gráfica 3 se
visualiza la respuesta temporal de la temperatura del =
Gp(s)
calculado:
=
=
Gráfico 3. Respuesta del modelo calculado a=
nte
la entrada escalón
En la gráfica 4 se comparan ambas respuestas, la
obtenida de los datos del proceso en operación versus la Gp(s) calculada ante una entrada escalón.
=
=
Grafico 4. Comparación respuesta modelo
calculado vs datos del proceso Tabla 1
aprecia que los datos tomad=
os del
proceso, de color rojo y acentuados con círculos sobre los puntos que
reflejan los pares ordenados de la tabla 1 se aproximan de tal manera que el
error es prácticamente cero respecto a la gráfica de azul que
representa la respuesta ante una entrada escalón de la funció=
n de
transferencia calculada Gp(s). Con ello se dete=
rmina
que la función de transferencia que representa al equipo es la adecu=
ada.
Conclusiones
·
Se obtuvo el modelo matemático adecua=
do o
función de transferencia del mezclador para la obtención de c=
rema
solar basado en datos de operación del equipo que permita llevarlo a
puntos específicos de funcionamiento. Lo cual se verificó al
final del presente trabajo comparando las gráficas de las respuestas=
del
modelo calculado versus los datos obtenidos en ensayos de campo teniendo co=
mo
resultado un margen de error de aproximadamente 0%.
·
Con la función de transferencia obten=
ida
del equipo mezclador, la cual era la principal problemática de este
estudio, se puede calcular matemáticamente el regulador PID que perm=
ita
controlar o llevar a un punto de operación de manera precisa a la pl=
anta
evitándose el manejo de análisis basados en pruebas de ensayo=
y
error.
·
Se reduce el margen de error en encontrar el
regulador PID adecuado que cumpla con las condiciones de diseñ=
;o basadas
en los parámetros Mp, ts y ep. Además, reduce el tiempo de diseño, costos que ello impl=
ica
para una industria, costos de hardware y software para las diferentes prueb=
as,
entre otros, lo cual es recurrente en los criterios basados en ensayos como=
el
antes mencionado Ziegler y Nichols donde se desconoce la función de<=
span
style=3D'letter-spacing:-.5pt'> transferencia.
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PARA
CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
Jácome, M., Santiana Espín, C., Guamán Lozada, D.,
López Montero, M. J., & Coba Carrera, R. (2019). Obtención
del modelo matemático adecuado o función de transferencia del
mezclador para la laboración de crema so=
lar
basado en datos de operación del equipo que permita llevarlo a puntos
específicos de funcionamiento. Ciencia Digital, 3(2.4),
61-72. https=
://doi.org/10.33262/cienciadigital.v3i2.4.508
El
artículo que se publica es de exclusiva responsabilidad de los autor=
es y
no necesariamente reflejan el pensamiento de la Revista Ciencia Digital.
El artí=
culo
queda en propiedad de la revista y, por tanto, su publicación parcial
y/o total en otro medio tiene que ser autorizado por el director de la Revista Ciencia Digital.
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