Cognitive construction of abstract vector space
with engineering students
Deysi Margoth Guanga Chunata, [1] L=
uis
Enrique Sarmiento Torres, [2=
]
Marianela de Jesús Inca Chunata. [3]
Recibido: 20-04-2019 / Revisado: 25-05-2019
/Aceptado: 28-06-2019/ Publicado: 30-07-2019
This paper =
describes
the application and validation of a cognitive model for learning abstract
vector spaces. The contribution that represents the association of real
numbers, functions and any other element that could be consider as a vector,
highlights the role played by the verification of the different algebraic
structures, of the existence of a vector space, the linear transformation. =
The
experimentation results obtained through with engineering students for the
various applications developed in the classroom with a focus on developing
solutions in the training area. The cognitive model shows a substantial imp=
rovement
in the understanding of linear algebra subject.
Resumen.
El presente tr=
abajo
describe la aplicación y validación de un modelo cognitivo para el aprendiz=
aje
de los espacios vectoriales abstractos. El aporte que representa el
asociar los números reales, las funciones y cualquier otro elemento que pud=
iera
ser considerado como un vector, destaca el papel que desempeña la comprobac=
ión
de las diferentes estructuras algebraicas, de la existencia de un espacio
vectorial, la transformación lineal. Los resultados obtenidos mediante la
experimentación con estudiantes de ingeniería para las diversas aplicaciones
desarrolladas en el aula de clase con enfoque al desarrollo de soluciones e=
n el
área de formación. El modelo cognitivo permite evidenciar una mejora sustan=
cial
en la comprensión de los contenidos de la asignatura algebra lineal =
Palabras claves: Modelo cognitivo, Vector, Espacio vectorial
abstracto, Transformación lineal.
Introducción.
Construir cognitivamente el espacio vectorial abstracto con
estudiantes de ingeniería requiere un análisis retrospectivo en la
historia de la epistemología para comprender la evolución de las construcci=
ones
matemáticas incorporadas a la estructura de espacio vectorial. Simultáneame=
nte
se requiere atender los procesos mentales involucrados en la estructura
cognitiva del aprendizaje en estudiantes universitarios de ingeniería (Alfo=
nso,
A. 2012).
Es necesario asumir una posición frente a aquellos conceptos que def=
inen
la construcción de un espacio vectorial, sus elementos, axiomas, operacione=
s y
transformaciones lineales. De este modo en la presente publicación se enten=
derá
por R n al conjunto de todos los vectores cuyas componentes n-ési=
mas
puedan ser concebidos como la colección de los n- números reales ordenados =
como
primera, segunda, tercera… n-ésima componente. (Alfonso, A. 2012).
Se requiere también de un s=
istema
coordenado que permita la representación geométrica de dichos elementos
cartesianos (2 componentes), tridimensionales (tres componentes) y un siste=
ma
generador como un conjunto de vectores linealmente independientes que gener=
an
el espacio vectorial. (Kú, D. 2008). Estas nociones resaltan la estructura
algebraica para los vectores del plano que se anclan a un origen como se
ilustra en la Figura 1
Figura 1. Estructura algebraica
Figura 1. Sobre la concepción de p=
lano
cartesiano y plano vectorial
Fuente: =
Elaboración propia
Figura 2 Representación geométric=
a de
los vectores de dos componentes
Fuente: =
Elaboración propia
La elección de estos diferentes escenarios se justifica, en parte, p=
or
la necesidad de explorar la influencia de las diferentes concepciones que
existe sobre un conjunto ordenado de elementos, a la par con la idea segmen=
to
dirigido. (Arnon, I. 2014). Es imprescindible promover la transición
colaborativa del aprendizaje entre los niveles medio y superior de la
matemática para sustentar dicha construcción con base en un conocimiento pr=
evio
más elemental. (Dorier, J. 2000).
Metodología.
Partiendo de las ideas de Descartes en 1637 se unificaron los criter=
ios
de la geometría, resaltan sobre las estructuras algebraicas -el concepto de
grupo-que está relacionado con resolución de ecuaciones y la búsqueda de un
cálculo geométrico que intentaron algunos matemáticos entre los siglos XVII=
y
XIX para resolver problemas, estos hechos influyeron en la presentación de =
los
axiomas Peano en 1888 de lo que hoy conocemos como espacio vectorial. Con
respecto a la enseñanza de la geometría en los años sesenta, a la luz de la
postura de algunos matemáticos franceses como Artín, Choquet y Revuz quienes
destacan el rol del concepto de espacio vectorial en la caracterización del
plano y el espacio geométrico, lo que pone en evidencia el tratamiento de la
geometría a través de una estructura algebraica para alcanzar su visualizac=
ión
en el sentido de una construcción mental
de objetos o procesos que un individuo asocia con objet=
os o
medios externos tales como la pizarra o hasta un ordenador. (Dubinsky, E.
1996). Esta perspectiva permite apreciar el rol que desempeñaron los concep=
tos
matemáticos con enfoque en la geometría, permitiendo de esta manera compren=
der
los procesos de abstracción asociados con ella. Estos planteamientos
constituyen la guía para la construcción cognitiva del espacio
vectorial abstracto. Ruta que considera como punto de partida al produ=
cto
cartesiano (Dorier, J. 2000).
=
A consecuencia de los efectos producidos por la reforma de las
matemáticas modernas para poner en sintonía las estructuras matemáticas que
promovió el grupo Bourbaki y las estructuras intelectuales que promocionó
Piaget se impulsaron distintas iniciativas como las que se describen a
continuación:
Las tres iniciativas antes mencionadas permiten situarnos en un pano=
rama
amplio respecto de la investigación y las innovaciones que desarrollaron
distintos investigadores en torno a los conceptos del álgebra lineal.
=
La pregunta que orienta este trabajo es el siguiente:
¿Qué elementos matemáticos =
son
necesarios y se evidencian como prerrequisitos para los estudiantes de
ingeniería en la construcción cognitiva del espacio vectorial?
=
La Teoría APOE (Acrónimo de Acción, Proceso, Objeto y Esquema) es una
teoría constructivista que toma como marco de referencia las ideas de Piaget
respecto al desarrollo del conocimiento, fundamentalmente rescatando el
concepto de abstracción reflexiva y el concepto de esquema.
Dubinsky, quien desarrolla esta teoría, extiende el análisis cognitivo de
conceptos matemáticos que se estudian de un nivel escolar, a un nivel de
educación superior (Dubinsky, E. 1996). <=
/span>En
la teoría APOE, las estructuras mentales que describen el proceso de
construcción de un fragmento del conocimiento matemático constituido en cua=
tro
categorías: acción, proceso, objeto y esquema.
Conforme un individuo reflexiona y trabaja para comprender uno o varios
conceptos matemáticos pone en juego mecanismos
mentales: interiorización, coordinación, encapsulación =
y reversión,
que son considerados casos particulares de la abstracción
reflexiva [9]
Figura 3 Estructuras y mecanismos mentales para construir
conceptos
Fuente: Elaboración
propia
Al considerar un objeto matemático se realizan acciones
sobre objetos previamente construidos, relacionándolos con otros =
conceptos
matemáticos que se toman como base para la construcción del nuevo. Las acci=
ones
se caracterizan por ser transformaciones que se realizan paso a paso,
obedeciendo a estímulos que son o se perciben como externos (Dubinsky, E. 2=
001).
Un estudiante ha interiorizado una acción en
un proceso si puede realizar una operación interna que hace (o
imagina) esencialmente la misma transformación enteramente en su mente, sin
necesariamente realizar todos los pasos específicos. (García, I. 2017). La
teoría APOE proporciona un ciclo de investigación compuesto por tres
componentes: el análisis teórico, el diseño y aplicación de
instrumentos y el análisis y verificación de datos, el cual ha si=
do
utilizado con éxito por el Grupo Rumec y otros investigadores (García, I. 2=
017).
Sobre la primera componente del método surge la interrogante ¿Qué es=
un
vector? ¿Es un vector de dos dimensiones, por ejemplo, una flecha en el pla=
no
que describa con coordenadas por comodidad o es más bien un par de números
reales que se pueden representar fácilmente como una flecha en el plano?, P=
uede
que las dos cosas sean manifestaciones de algo más profundo, por un lado,
definir un vector simplemente como una lista de números es directo y precis=
o,
de este modo, nociones como vectores de 4 dimensiones e incluso de 100 pare=
cen
reales y concretas con las que se puede trabajar cómodamente, mientras que =
la
idea de 4 dimensiones, en sí suena lejana y poco imaginable geométricamente=
y
difícil de describir. Por otro lado, una intuición común entre los docentes=
que
imparten la asignatura de álgebra lineal, especialmente cuando se interiori=
za
el concepto de “cambio de base” es que se encuentra en un espacio que existe
independientemente de las coordenadas que las asocie y que de hecho estas c=
oordenadas
son algo arbitrarias ya que varían en función de cómo se eligen los vectore=
s de
la base.
Temas básicos en álgebra lineal, como =
el
de determinante o los vectores propios parecen indiferentes a la elección d=
el
sistema de coordenadas. El determinante representa cuánto varían las áreas =
bajo
la transformación y los vectores propios son los que permanecen en el sub
espacio que generan bajo esa misma transformación como lo muestra la Figura=
4
Figura 4 El determinante y los
valores propios no varían las áreas bajo la transformación.
Fuente: =
Elaboración propia
Las dos propiedades son inherentes en =
el
espacio y aun así es posible cambiar el sistema de coordenadas sin modificar
ninguno de estos valores, pero si un vector no es una lista de números real=
es y
su esencia se distingue como algo más espacial, esto conlleva a la reflexión
sobre a qué se refiere la matemática cuando discurre sobre el término “espa=
cio”
o “espacial”. Para ello se considera algo que no son ni “flechas”, ni lita =
de
números, pero que parece tener cualidades “vectoriales” , las funciones que=
de
hecho en el plano podrían parecer un tipo especial de vector.
Del mismo modo que se pueden sumar dos
vectores, parece razonable que se puedan sumar dos funciones
Figura 5 Adición de funciones
Fuente: =
Elaboración propia
La imagen de esta nueva función para
cualquier valor de entrada, por ejemplo
En general la imagen de la función suma
para cualquier valor de
De manera similar, resulta razonable la
idea de multiplicar una función por un número real, bastará con multiplicar
cada una de las imágenes por dicho número y otra vez es análogo a multiplic=
ar
los componentes de un vector coordenada a coordenada como lo muestra la Fig=
ura
6
Figura 6 Producto de un escalar
por una función
Fuente: =
Elaboración propia
Dado que los vectores admiten solamente
ser sumados o multiplicados por un número real, existe una noción de
transformación lineal para funciones, por ejemplo, una operación tal que da=
da
una función devuelve otra proviene del cálculo y es la función derivada.
En ocasiones se utiliza el término
operador en lugar de “transformación”, sin embargo, el significado es el mi=
smo.
De manera natural surge la interrogante sobre el significado de la linealid=
ad
de la transformación lineal. La definición formal de linealidad es
relativamente abstracta, una ventaja de la abstracción es que ésta permite
aplicarla tanto en funciones como en vectores.
La transformación lineal es considerada
como tal si satisface dos propiedades comúnmente descritas como aditividad y
escalamiento.
Una de las consecuencias relevantes de
estas dos propiedades que hace que la multiplicación matriz – vector sea
posible, es que una transformación lineal queda totalmente determinada por =
la
imagen de los vectores de la base. El hecho que todo vector pueda ser expre=
sado
como una suma de los vectores de la base multiplicados por un escalar real =
hace
que la versión de transformada se reduzca a sumar y multiplicar por dichos
números la versión transformada de los vectores de la base. Este concepto es
válido para las funciones, por ejemplo, los estudiantes de cálculo usan
continuamente la derivada de una función real, misma que es aditiva y tiene=
la
propiedad del producto por un escalar, aunque quizá no familiaricen el conc=
epto
en estos términos en esa forma. Si se suman dos funciones y se hace su
derivada, es lo mismo que hacer primero la derivada de cada una por separad=
o y
luego sumarlas.
De manera similar si se multiplica una
función por un escalar y se hace su derivada, es lo mismo que hacer primero=
su
derivada y luego multiplicar por el escalar.
Para evidenciar el paralelismo se desc=
ribe
la función derivada con una matriz. Esto resulta un poco enredado, ya que l=
os
espacios de funciones suelen tener dimensión infinita. Para ello se limita
únicamente a la familia de los polinomios como =
Pero el espacio en su totalidad incluye
polinomios de grado arbitrariamente elevado. Lo primero es tomar coordenada=
s en
este espacio que requiere escoger una base , al estar los polinomios ya
escritos como una suma de potencias de la variable
En el mundo de los vectores entendidos
como flechas, como los polinomios pueden tener grado arbitrariamente elevad=
o,
el conjunto de función es base es infinito. Pero esto no es ningún problema,
simplemente significa que cuando tratemos los polinomios como vectores tend=
rá
un número infinito de coordenadas Un polinomio como =
El polinomio
En general, al tener cada polinomio in=
dividualmente
un número finito de términos, sus coordenadas serán un número finito de núm=
eros
seguido de un número infinito de ceros
En este sistema de coordenadas la deri=
vada
está descrita por una matriz infinita casi totalmente llena de ceros pero c=
on
enteros positivos en una de sus diagonales. Por ejemplo:
Tomando las coordenadas del polinomio =
=
Lo que hace que estos razonamientos se=
an
correctos es que la derivada es lineal. Para quien desee reflexionar sobre =
el
tema, esta matriz se puede construir tomando la derivada de cada una de las=
funciones
de la base y poniendo los resultados obtenidos a las columnas correspondien=
tes.
Así pues de manera sorprendente, el
producto matriz -vector y el cálcu=
lo de
la función derivada, a priori cosas muy distintas, son simplemente miembros=
de
la misma familia, En realidad muchos de los conceptos introducidos en este
artículo con respecto a los vectores entendidos como flechas en el espacio =
como
son el producto escalar, o los vectores propios, tiene análogos directos en=
el
espacio de las funciones, aunque a veces sus nombres varían como por ejemplo
producto interno, o funciones propias.
En general existe un sin número de
elementos “vectoriales” que satisfacen las condiciones de escalabilidad y
aditividad ya sea que éstos se identifiquen con las flechas en el espacio,
listas de números, funciones o cualquier cosa que se desea definir, todas l=
as
herramientas del álgebra lineal involucrando vectores, transformaciones
lineales y los demás axiomas, deberían ser aplicables.
Figura 6 Elementos vectoriales
Fuente: =
Elaboración propia
La matemática tiene la tarea de asentar
las bases del álgebra lineal y de forma obligatoria se requiere que todas la
definiciones y descubrimientos que se han realizado sirvan para aquello que=
sea
un tanto vectorial con toda generalidad y no con casos concretos. Este conj=
unto
de cosas vectoriales como las flechas en el espacio, listas de números o las
funciones se llaman espacios vectoriales y se requiere que matemáticamente =
se
pueda aseverar que cada uno de los posibles espacios vectoriales puedan
ocurrir, de modo que el conjunto de reglas para la aditividad y al producto=
por
un escalar se denominen axiomas y en la teoría moderna del álgebra lineal
existen 8 de ellas que todo espacio vectorial debe satisfacer si se requiere
que todas las herramientas y operaciones descritas funcionen.
Estos axiomas se enumeran a continuaci=
ón:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Esta lista describe los requisitos, para
asegurar que la suma de vectores y su producto por escalares funcionen, sin
pretender tampoco ser unas leyes fundamentales, sino más bien como un modo =
de
comunicación para quienes desean aplicar estos resultados en nuevos tipos de
espacios vectoriales. Si por ejemplo alguien define el extraño espacio
vectorial del conjunto de “criaturas alfa” con algunas definiciones sobre su
suma y su producto por escalares, estos axiomas servirían para comprobar qué
deben cumplir para poder ser considerados como un espacio vectorial sin
preocupaciones sobre lo extraño que podría resultar el conjunto, sino
simplemente probar los resultados en términos de estos axiomas, de modo que,
independientemente de las definiciones los resultados sean aplicables, incl=
uso
aunque se desconociera exactamente la situación.
Como consecuencia los resultados serían
abstractos, es decir únicamente en términos de estos axiomas más que en un =
tipo
específico de vector, como flechas en el espacio o funciones. Por ejemplo, =
este
es el motivo por el cual la mayoría de textos definen las transformaciones
lineales en términos de aditividad y producto por un escalare, en lugar del
tópico geométrico que versa sobre cuadrículas, sistemas coordenados paralel=
os y
uniformes.
Aunque lo segundo sea más intuitivo y
cognitivamente más útil para el estudiante. En la teoría moderna la forma q=
ue
tomen los vectores no es relevante ya sea con listas de números, funciones,=
criaturas
alfa, realmente no importa mientras cumplan las nociones de la suma y el
producto por escalares.
Análisis
de los resultados
Tabla 1.=
Resumen de la aplicación del método en dos grupos
|
Fuente |
||
|
Técnica |
||
|
Análisis de los datos |
Conclusiones
· =
Para
una mejor cognición se deben tratar los vectores como un elemento concreto y
representable visualmente, como en el plano usando flechas desde el origen,
considerando que a medida que el estudiante aprende más sobre álgebra linea=
l,
es conveniente tener en cuenta que estos conocimientos son aplicables a un
nivel mucho más general y que éste es el motivo por el cual los textos estu=
dian
el tema de un modo más abstracto
=
·&nb=
sp;
El presente trabajo constituye una
herramienta para el aprendizaje cognitivo de los espacios vectoriales
abstractos. El resultado de la estrategia didáctica cognitiva permite a los
alumnos su construcción al menos como proceso de aprendizaje dejando de lado la memorización.
Referencias Bibliográficas=
.
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matemática, 20(2), 65-89.
PARA
CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
Guanga Chunata, D.,
Sarmiento Torres, L., & Inca Chunata, M. de J. (2019). Construcción
cognitiva del espacio vectorial abstracto con estudiantes de Ingeniería.
El
artículo que se publica es de exclusiva responsabilidad de los autores y no
necesariamente reflejan el pensamiento de la Revista Ciencia Digital.
El artículo queda en propiedad de la revista y, por
tanto, su publicación parcial y/o total en otro medio tiene que ser autoriz=
ado
por el director de la Revista Cien=
cia
Digital.
[1]Escuela
Superior Politécnica de Chimborazo, Chimborazo Ecuador, deysiguanga@espoch.edu.ec
[2] Petroamazonas EP, Sucumbíos, Ecuador.
luis_sarmiento@petroamazonas.ec
[3] Secretaría Nacional de Educación Superior, Pichin=
cha,
Ecuador. minca@senescyt.gob.ec