Predicción de precios=
del
petróleo y el aluminio usando ecuaciones diferenciales estocásticas
Flavia Panelas Ramos.,
Camilo Rivera Rodríguez.&
Karen Santos Fernández.
Resumen. =
DOI: https://doi.or=
g/10.33262/concienciadigital.v1i4.906
=
En el
mundo globalizado de hoy, la incertidumbre se muestra en el desempeño de las
economías modernas. Esta condición influye directamente en estas economías,=
por
tanto, la propensión a sufrir las consecuencias de las fluctuaciones de las
diferentes variables de mercado es un hecho incuestionable. La apertura
comercial y financiera que distingue a las economías modernas en un contexto
global ha potenciado la aparición de escenarios inciertos donde el riesgo j=
uega
un papel protagónico. Esta situación requiere de la implementación de progr=
amas
para administrar riesgos con vistas a reducir los impactos de los conflictos
financieros que atentan contra la estabilidad de los diferentes actores
económicos.
En
general, las economías pequeñas y abiertas presentan características
específicas que las hacen muy vulnerables frente a los desequilibrios en las
relaciones económico-financieras, entre ellas, las variaciones de los preci=
os.
Por lo tanto, gestionar la exposición a la volatilidad de los precios genera
una creciente necesidad de protección financiera.
Cuba se
inserta en este tipo de economías altamente expuestas a las variaciones dad=
as
en el entorno internacional. Dicha vulnerabilidad se ve profundizada con la
existencia del embargo económico y financiero impuesto por los Estados Unid=
os.
Debido a esta situación, resulta beneficioso para la Isla contar con
herramientas para reducir al mínimo los riesgos y, optimizar el proceso de =
toma
de decisiones en las cuestiones relacionadas con el comercio exterior.=
Palabras claves: petróleo,
aluminio, ecuaciones diferenciales estocásticas.
Abstract.
In the globalized today’s world,
uncertainty shows up in the modern’s economies performance. This condition
influences directly on these economies, because of that, the propensity to
suffer the market’s different variables’ fluctuations’ consequences is an
unquestionable fact. The commercial and financial opening that distinguish =
the
modern economies on a global context has encouraged the appearance of uncer=
tain
sceneries where the risk plays a starring role. This situation requires de
implementation of programs to administrate risk with financial conflict’s
impact reduction views that attempt against the different economic authors’
stability.
Generally, small and open economies pre=
sent
specific characteristics that makes them very vulnerable against economic
financials unbalances, amongst them, price variation. That is why; to manage
the exposure to prices volatility generates a growing need for financial
protection.
Cuba enters in this type of economy hig=
hly
exposed to the given variations in the international scenery. This
vulnerability goes deeper with the existence of the economic and financial
embargo imposed by the United States. Due to this situation, it is highly
beneficious to the island to count with tools to reduce to the minimum risk,
and optimize the making decisions’s process on =
the
external commerce’s related questions.=
Keywords: oil, aluminum, stochastic dif=
ferential equations.<=
/span>
Introducción.
Como se conoce nada =
es
estático en la Economía desde las propias tendencias económicas y escuelas
hasta los procesos económicos en sí. Conocer cómo se comportarán diferentes
fenómenos a lo largo del tiempo resulta tan imprescindible como complejo.
Fluctuaciones y
pronósticos de precios de materias primas vitales. ¿Tendrá ello algún tipo =
de
interés para economistas, ministerios, y en general “hacedores de políticas=
”?
Indudablemente conocer cómo se comporta y comportará uno de los componentes=
más
esenciales para la reproducción de los capitales, los insumos, es de import=
ancia
vital para el desarrollo de un país, para la aplicación y proyección de las=
más
eficientes políticas. Cómo se rige un bien en el mercado, y así poder trazar
estrategias para lograr adelantarse a los altibajos del mercado, haciendo
posible el trazo de políticas que los compensen o aprovechen.
La Economía y la
Matemática sin dudas van de la mano en todo momento. Todo fenómeno económico
hasta el más subjetivo puede de una manera u otra ser llevado a un modelo.
Dadas estas prerrogativas la herramienta por excelencia es la Ecuación
diferencial. Las ecuaciones diferenciales modelan los fenómenos dinámicos, =
de
ahí su aplicación en economía y finanzas. Cómo si no lograr un modelo que t=
enga
presente las tasas de cambio de varios parámetros y actualizándolo con las
pertinentes constantes relativas al momento específico encontrar una curva =
que
describa eficientemente la incógnita o proyección en cuestión. Fue posible
encontrar diferentes aristas dentro de la economía donde se utiliza esta
herramienta. Además, gracias a los conocimientos adquiridos principalmente
durante el semestre y la investigación conjunta del equipo se logró modelar=
los
precios del petróleo y el aluminio, con el objetivo de lograr pronósticos
acertados y puede que incluso promover el uso de esta herramienta matemática
más compleja a nivel nacional.
Objetivos:
· &nb=
sp;
Explicar=
la
teoría y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
· &nb=
sp;
Introduc=
ir
las ecuaciones diferenciales estocásticas y los modelos de reversión a la
media.
· &nb=
sp;
Modelar =
los
precios diarios del aluminio y el petróleo.
· &nb=
sp;
Verifica=
r el
ajuste de los modelos.
· &nb=
sp;
Predecir=
un
comportamiento aproximado un año después de la toma de datos.
· &nb=
sp;
Proponer=
la
difusión de esta herramienta para aplicación en cuestiones económicas o soc=
iológicas
de vital interés para el país.
Desarrollo:
Modelo
matemático
Con
frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno=
de
la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico,
sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o
fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en men=
te;
por ejemplo, predecir el comportamiento de cierta variable aleatoria.
Un
modelo matemático puede ser descrito mediante una ecuación diferencial o un
sistema de ellas, basados en información previa del investigador. Luego se
deben estimar los parámetros del modelo y revisar su ajuste.
Administración
de riesgos en commodities.
La
situación actual del mercado se muestra cada vez más compleja, en tanto la
globalización incide de manera determinante y aún más evidente en el
funcionamiento del mismo. En este sentido, los niveles de interconexión e
interdependencia provocan el desarrollo de un mercado único donde los riesg=
os
están cada vez más representados. Ello conlleva, por un lado, a un incremen=
to
en la vulnerabilidad de las empresas en un contexto que sufre cambios
constantemente, y por otro, el movimiento de capitales se facilita y afecta=
la
economía de un país si no son controlados correctamente.
Asociado
a ello, la gestión de riesgos empresariales se percibe hoy como un tema de
importancia relevante. El enfoque moderno de la administración de riesgos, =
es
decir, la administración integrada de riesgos constituye un proceso que, de=
forma
integral, sistemática y disciplinada, le permite a la organización evaluar,
controlar, explotar, financiar y supervisar sus riesgos significativos con =
la
finalidad de incrementar sus beneficios en el corto y largo plazo. Su corre=
cta
aplicación:
· =
Favorece el aumento de la compren=
sión
total de riesgos.
· =
Facilita, a la alta dirección, una
representación del nivel de afectación posible.
· =
Desarrolla un proceso sistemático,
cooperativo y de organización para que la compañía utilice la identificació=
n,
atención y el financiamiento o contingencia para el riesgo.
· =
Posibilita concentrarse en las
decisiones de la administración del riesgo que maximizan las ganancias, tom=
ando
al riesgo como una oportunidad para generar ingresos.
· =
Mejora la capacidad de la
organización para identificar los eventos potenciales y establecer respuest=
as.
· =
Eleva la efectividad en la
administración del tiempo y de los recursos del negocio para manejar riesgo=
s,
proporciona una mayor capacidad para identificar y evaluar tales riesgos y
establecer niveles aceptables del mismo en relación con el potencial de
crecimiento y el logro de objetivos: racionaliza el capital.
Por lo general, el mercado que más incertidumbre
genera debido a la alta volatilidad de los precios de sus productos es,
precisamente, el mercado de commodities. En este
sentido, resulta interesante analizar sus características, en función de
identificar los instrumentos a utilizar a fin de cubrirse del riesgo explic=
ado
por el movimiento de los precios.
Análisis
fundamental
El
análisis fundamental es uno de los enfoques más utilizados por los analistas
para estudiar los mercados financieros y tratar de predecir los movimientos=
de
los precios pues se centra en las causas de dichas variaciones. Este abarca=
un gran
número de variables, dependiendo de la naturaleza del activo y el mercado e=
n el
que se negocia, y se debe desarrollar continuamente para que pueda ser
efectivo.
En
el análisis fundamental se internalizan elementos de diversas ramas, entre
ellas, la microeconomía, la contabilidad y la macroeconomía. En este sentid=
o,
se distinguen tres fases por las que transita esta interpretación cualitati=
va.
Por un lado, se detiene en el análisis político y macroeconómico donde se
tienen en cuenta aspectos relacionados con la situación política, financier=
a,
coyuntural y social del país, los precios (inflación); así como su credibil=
idad
externa (riesgo país, tipo de cambio). Por otro lado, se desarrolla el anál=
isis
del sector industrial que se refiere a la relación oferta-demanda del activo
subyacente en cuestión (niveles de producción, reservas, entre otros). Por
último, se llega al nivel empresarial donde se analiza la posición de la
empresa, su contabilidad e informes financieros, de forma que se conozca su
nivel de endeudamiento, solvencia, liquidez, entre otras ratios de interés.=
De
acuerdo con el análisis que se desee desarrollar, este método se puede divi=
dir
en dos variantes que no son excluyentes entre sí, sino que lo recomendable
sería extraer las conclusiones de ambos análisis y combinarlas para hacer un
estudio más completo e integral del fenómeno.
Análisis
Top-Down: Es el análisis que describe una trayectoria descendiente, es deci=
r de
arriba hacia abajo, de lo general y global a lo concreto y particular. Atra=
viesa
por tres niveles fundamentales: la economía en su conjunto, posteriormente =
se
hace un análisis sectorial y en último lugar se analiza a la empresa en sí.=
Análisis
bottom-up: Se hace el análisis en sentido inver=
so, es
decir se parte de lo concreto, pero ni la coyuntura a nivel sectorial ni la
economía nacional son importantes.
La
relación oferta-demanda es el único factor a considerar en la sencilla teor=
ía
del análisis fundamental, que se puede sintetizar en un solo principio: Men=
ores
existencias o un mayor consumo hacen que se eleven los precios y la abundan=
cia
de suministros o una reducción del consumo provocan una reducción de los
mismos.
En
este sentido, es importante hacer alusión a algunos factores que influyen e=
n el
análisis fundamental como: las reservas, la producción, la posición geográf=
ica,
las condiciones climatológicas, las condiciones económicas, la inflación, l=
as
expectativas, las imperfecciones del mercado, los factores competitivos y
políticos, las variaciones en el tipo de cambio, los ratios e índices, entre
otros.
Por
un lado, la producción tiene un efecto inmediato sobre las reacciones tanto=
de
compradores como de vendedores en los mercados, por lo tanto, es de esperar=
que
las producciones tengan igualmente un efecto directo sobre las fluctuacione=
s de
precios. Si se espera un determinado volumen de producción, la oferta y la
demanda se ajustarán a estos patrones de existencias. En este sentido, si n=
o se
logran los niveles de producción estimados, traería como consecuencia una
disminución de la oferta efectiva y un incremento de los precios.
Las
condiciones climatológicas y meteorológicas (terremotos, huracanes, olas de
frío), impactan directamente en la oferta y demanda de los commodities,
mientras que los ciclos climáticos influyen en su consumo. A raíz de esto, =
se
ven igualmente afectados sus precios.
Por
otro lado, las reservas se refieren a los niveles de stock con que se cuent=
e de
determinado activo. En correspondencia con las cantidades físicas en
existencias, y la relación entre la oferta y la demanda, el precio se mover=
á al
alza o a la baja.
Las
condiciones económicas, ya sea para la economía nacional como para la
internacional, tienen un papel protagónico en el proceso de toma de decisio=
nes
de precios de los bienes. En caso de una expansión en la economía mundial, =
los
niveles de consumo, y por tanto la demanda, se incrementan, en relación a la
oferta, lo que se traduce en un aumento de los precios. Si, en consecuencia,
los productores del bien responden con un incremento desmedido en la
producción, y la oferta supera la demanda, entonces los precios se deprimir=
án.
Esta dependencia del ciclo económico es peligrosa en tanto se incrementa la
volatilidad en los mercados físico y financiero.
Conocer
acerca del comportamiento de la inflación resulta relevante para el análisis
fundamental, pues indica, a su vez, las variaciones de los precios en una
economía dada y, por tanto, la competitividad de esta economía frente al re=
sto
del mundo.
Análisis
técnico
Junto
al análisis fundamental, el análisis técnico es muy utilizado actualmente p=
or
los especialistas. Este parte de la premisa de que el precio de un activo e=
n el
mercado incorpora ya toda la información relevante que puede impactarlo, de
modo que el estudio del comportamiento del precio puede llegar a explicar
movimientos futuros del mismo. Muchos inversores combinan ambos tipos de
análisis para tomar decisiones respecto a la gestión de sus operaciones en =
el
mercado, de modo que se aprovechen las diversas ventajas que ofrece cada un=
o de
ellos. El Análisis Técnico se basa en las operaciones estadísticas y
matemáticas con las variables para detectar las tendencias y facilitar la t=
oma
de decisiones. De manera general, requiere de la utilización de gráficos pa=
ra
facilitar el proceso de toma de decisiones cuya confección se basa en las
informaciones referidas a los precios o cotizaciones y los volúmenes de
negociación del producto específico. Su interpretación se desarrolla a part=
ir
de encontrar formaciones típicas que indiquen cambios en las tendencias de =
los
valores.
Herramientas
para el análisis de riesgos de mercado
La
formación del precio de los instrumentos derivados es un elemento de gran
significación para la negociación en los mercados financieros. Si bien los
análisis fundamental y técnico influyen de manera determinante en la toma de
decisiones, la subjetividad inherente a ellos continúa siendo su principal
debilidad. Para darle respuesta a este inconveniente, se utilizan herramien=
tas
basadas en ciencias exactas que añaden rigor científico, por la objetividad=
que
imprimen a los análisis.
En
este trabajo se presenta una aproximación de los precios del petróleo y
aluminio con la ayuda de herramientas matemáticas, específicamente de las
ecuaciones diferenciales estocásticas, y del software Matlab, que permitió =
la
obtención de parámetros del modelo a, µ, o que describen los precios. Luego=
de
una búsqueda de datos se logró encontrar un modelo que describe el
comportamiento en el tiempo de los precios del aluminio y el petróleo.
Ecuaciones
diferenciales estocásticas:
Las
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) abarcan
múltiples campos de las matemáticas, física, demografía y economía. A
diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las EDE tienen=
un
término aleatorio de perturbación que hace que el conjunto solución no sea =
una
curva suave, sino una trayectoria continua llena de altibajos con picos en =
todo
el intervalo.
Una
EDE se identifica mediante la siguiente ecuación:
dS =3D †(S, t)dt + g(S, t)dB
Donde S es la función que depende del tiempo (t), =
B es
un proceso estocástico del tipo browniano, y † y g, son dos funciones. (Mikosch, 2004)
En
la Economía, se utilizan este tipo de ecuaciones para describir los precios=
de
ciertas materias primas, y se les llama “Procesos de reversión a la media”,=
un
tipo de EDE con la estructura específica que se observa:
dS =3D a(µ — S)dt + oSdB
Donde S representa el precio de la materia prima, =
µ es
la media o valor esperado, a representa la rapidez con la que S se aproxima=
a
su media y o está asociado a la desviación del modelo, o sea que tan disper=
sos
se encuentran los datos de la media. (Marin,
Ecuaciones diferenciales estocásticas y casos de aplicación en finanzas, 20=
07)
Auxiliándose
de un lenguaje de programación se pueden obtener los parámetros del modelo =
a,
µ, o que describen los precios de acuerdo a lo descrito en (Marin
& Palacio, Gaussian Estimation of One-Factor Mean Revers=
ión,
2013). Específicamente se utilizó el software Matlab (Anexos).
Comportamiento
de los precios del petróleo.
Para
la realización del modelo se contó con 252 datos. Los datos fueron tomados
diariamente de forma aproximada desde 2016 hasta 2017. Como se muestra en la
siguiente ilustración el comportamiento real de los precios del petróleo. L=
os
precios fueron escalados. Todos los gráficos que se presentan a continuación
muestran el precio en función del tiempo (días).
Gráfico N 1.
Comportamiento en la realidad de los precios del petróleo.
Fuente: Elaboración
propia.
Utilizando
el software Matlab se encontraron los parámetros necesarios para así mostra=
r la
ecuación que describe el fenómeno. Estos parámetros se encuentran desarroll=
ando
la metodología descrita en (Marin & Palacio,
Gaussian Estimation of One-Factor Mean Reversion=
, 2013)
a<=
span
style=3D'letter-spacing:-1.2pt'> =3D 11, 8948
=
µ =
=3D 48, 9130
o =
=3D 0,
3463
=
Siendo
la EDE dS =3D 11, 8948(48, 9130 — S)dt + 0, =
3463
∙ SdB
Luego utilizando el mismo software ya con los parámetros =
de
la EDE se puede observar cómo se ajusta la ecuación a la realidad:
Gráfico N 2. Ajuste de la ecuación a la realidad del model=
o.
Rojo precios reales, azul precios estimados.
Fuente: Elaboración
propia.
De la misma manera gracias al mismo software fue
posible encontrar una aproximación de cómo se comportarían estos precios un=
año
después como se muestra a continuación.
Gráfico N 3.
Ajuste de la ecuación a la realidad del modelo. Rojo precios reales, azul
precios estimados.
Fuente: Elaboración
propia.
Como
estos fenómenos son aleatorios, por lo tanto, incontrolables, la imagen
anterior solo muestra una posible trayectoria de los precios. Para realizar=
una
predicción exacta se deben hallar muchas posibles trayectorias y se obtendr=
ía
un rango en el que se moverán los precios, por ejemplo, para 10 futuras tra=
yectorias
se comportaría aproximadamente como se muestra a continuación:
Gráfico N 4. Comportamiento
de los precios del petróleo.
Fuente: Elaboración
propia.
Para
la realización del modelo se contó con 1405 datos para así lograr un mejor =
ajuste.
Los datos fueron tomados diariamente de forma aproximada desde 2011 hasta 2=
017.
Como se muestra en la siguiente ilustración el comportamiento real de los
precios del aluminio. Los precios fueron escalados.
Gráfico N 5.
Comportamiento en la realidad de los precios del aluminio
Fuente: Elaboración
propia.
Utilizando
el software Matlab se encontraron los parámetros necesarios para así mostra=
r la
ecuación que describe el fenómeno.
a
=3D 1. 6404
µ
=3D 1. 5053 ∙ 103
o
=3D 0. 2027
Siendo
la EDE dS =3D 1. 6404(1. 5053 ∙ 103 — S)<=
span
class=3DSpellE>dt + 0. 2027 ∙ SdB<=
/span>
Luego
utilizando el mismo software ya con los parámetros de la EDE se puede obser=
var
cómo se ajusta la ecuación a la realidad:
Gráfico N 6. Ajuste de la ecuación=
a
la realidad del modelo. Rojo precios reales, azul precios estimados.=
Fuente: Elaboración
propia.
De
la misma manera gracias al mismo software fue posible encontrar una
aproximación de cómo comportarían estos precios un año después como se mues=
tra
a continuación.
Gráfico N 7. Ajuste de la ecuación=
a
la realidad del modelo. Rojo precios reales, azul precios estimados.=
Fuente: Elaboración
propia.
Como
se explicaba anteriormente, para una correcta predicción a corto plazo, se
deben realizar múltiples trayectorias de los precios del aluminio. La sigui=
ente
imagen muestra 10 trayectorias. Al estar presente la incertidumbre existen
varias posibilidades al estar definido el proceso en parte por variables
aleatorias.
Gráfico N 8.
Comportamiento de los precios del aluminio.
Fuente: Elaboración
propia.
Demostrando
de esta manera cuán provechoso puede ser esta herramienta para la toma de
decisiones y anticiparse a las fluctuaciones del mercado con los mayores be=
neficios
para la nación.
Conclusiones
· =
Se quisiera resaltar lo útil que ha
resultado la realización del trabajo para poder entender mejor algunos aspe=
ctos
de la carrera y cómo se apoya en la Matemática para la resolución de disími=
les
problemas y elaboración de teorías económicas.
· =
Desde el punto de vista económico y
aplicando el herramental previamente definido, las ecuaciones diferenciales=
son
empleadas en lo que se conoce como matemática financiera en la capitalizaci=
ón
continua del interés; así como en el proceso de toma de decisiones en la
administración de riesgo para aproximar los precios a la realidad de materi=
as
primas como petróleo y aluminio.
· =
El modelo que describe al petróleo es
menos exacto que el del aluminio, esto fue provocado pues esa modelación se
realizó con una cantidad menor de datos. Evidentemente a mayor cantidad de
datos mayor exactitud tendrá el modelo, pero aun así la herramienta permitió
llegar a una aproximación muy cercana a la realidad.
· =
Se recomienda seguir indagando sobre =
tan
interesante temática que sin dudas está en constante evolución y es un vasto
campo de investigación tanto para economistas como para matemáticos.
=
Referencias bibliográficas.<=
/p>
Marin, F. H. (2007). Ecuaciones diferenciales estocasticas y casos de aplicaci=
on
en finanzas.
Tesis de Maestria.
Marin, F. H., & Palacio, J. S. (2013). Gaussian Estimation of One-Factor Mean Reversion.<=
o:p>
Hindawi Publishing Corporation.
Mikosch, T. (2004). Elementary stochastic calculus with.
World Scientific. Shampine, L. F. (s.f.). Solving ODEs with MATLAB.
Zill,
D. G. (1997). Differential Equations with Modeling Applications.